Momen, Kemiringan dan Kurtosis

Momen, Kemiringan, & kurtosis

1.      MOMEN

Misalkan diberikan variable x dengan harga-harga: x1, x2, …., xn. Jika A =sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, ……., n, maka momen ke-r sekitar A, disingkatmr, didefinisikan oleh hubungan:

(1) ……………………………

Untuk A = 0 didapat momen ke-r sekitar nol atau disingkat momen ke-r:

(2) ..............................

Dari rumus (2), maka untuk r = 1 didapat rata-rata . Jika A = kita perolehmomen ke-r sekitar rata-rata, biasa disingkat dengan mr. Jadi didapat:

(3) …………………………...

Untuk r = 2, rumus (3) memberikan varians s²

Untuk membedakan apakah momen itu untuk sampel atau untuk populasi, makadipakai simbul:m_r dan m_r^’untuk momen sampel dan µr dan µ_r^’untuk momen populasi.

Jadi, m_r dan m_r^’adalah statistik sedangkan µr dan µ_r^’ merupakan parameter.Jika data telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka rumus-rumus di

atas berturut-turut berbentuk:

(4) ………………………..

(5) ………………………..

(6) ………………………..

dengan n = ∑f_i, x_i = tanda kelas interval dan f_i = frekuensi yang sesuai dengan xi.

Dengan menggunakan cara sandi, rumus 4 menjadi:

(7) ………………………

Dengan, p = panjang kelas interval, c_i  = variabel sandi

Dari m_r^’, harga-harga m_r untuk beberapa harga r, dapat ditentukan berdasarkan hubungan:

m₂ = m₂^’ – (m₁^’)²

m₃= m₃^’ – 3m₁^’m₂^’ + 2(m₁^’)³

m₄= m₄^’ - 4 m₁^’m₃^’ + 6(m₁^’)² m₂^’ - 3(m₁^’)⁴

contoh untung menghitung 4 buah momen sekitar rata-rata untk data dalam daftar distribusi frekuensi  sbb:

2. kemiringan

Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan

atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan

memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng.

Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri

maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif.

Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke

kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.

Berikut ini gambar kurva dari distribusi yang menceng ke kanan (menceng

positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).

Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan ataumenceng ke kiri, dapat digunakan metode-metode berikut :

1.      Koefisien Kemencengan Pearson

Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modusdibagi simpangan baku. Koefisien Kemencengan Pearson dirumuskan sebagai berikut:

Keterangan :

Sk = koefisien kemencengan pearson

Aoabila secar empiris didapatkan hubungan antarnilai pusat sebagai:

Maka rumus kemenccengan diatas dapat dirubah menjadi:

Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka:

1)      Sk =0                   kurva memiliki bentuk simetris

2)      Sk>0                     Nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan ( terletak di sebelah kanan Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva menceng ke kanan atau menceng positif;

3)      sk< 0                      Nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri (terletak di sebelah kiri Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri atau menceng negatif.

Contoh soal :

Berikut ini adalah data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa sebuah universitas.

Nilai Ujian Statistika pada Semester 2, 2010

a) Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemencengannya (gunakan kedua rumus tersebut) !

b) Gambarlah kurvanya !

Penyelesaian:

Oleh karena nilai sk-nya negatif (-0,46) maka kurvanya menceng ke kiri ataumenceng negatif.

b. Gambar kurvanya :                

2. Koefisien Kemencengan Bowley

Koefisien kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1,Q2 dan Q3) dari sebuah distribusi. Koefisien kemencengan Bowley dirumuskan :

Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien

Kemencengan.Apabila nilai sk_B dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :

1) Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kanan atau menceng secara

positif.

2) Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secara

negatif.

3) sk_B positif, berarti distribusi mencengke kanan.

4) sk_B negatif, nerarti distribusi menceng ke kiri.

5) sk_B = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan sk_B> 0,30

menggambarkan kurva yang menceng berarti.

Contoh soal :

Tentukan kemencengan kurva dari distribusi frekuensi berikut :

Nilai Ujian Matematika Dasar I dari 111 mahasiswa, 1997

Penyelesaian :

Kelas Q₁ = kelas ke -3

Karena sk_B negatif (=−0,06) maka kurva menceng ke kiri dengan kemencengan yang berarti.

3. Koefisien Kemencengan Persentil

Koefisien Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P₉₀,P₅₀ dan P₁₀) dari sebuah distribusi. Koefisien Kemencengan Persentil dirumuskan :\

Keterangan :

sk_P= koefisien kemecengan persentil , P = persentil

4. Keofisien Kemencengan Momen

Koefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3

dengan pangkat tiga simpang baku. Koefisien menencengan momen dilambangkan

dengan α₃. Koefisien kemencengan momen disebut juga kemencengan relatif.

Apabila nilai α₃dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :

1) Untuk distribusi simetris (normal), nilai α₃= 0,

2) Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α₃ = positif,

3) Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α₃= negatif,

4) Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai α₃> ±0,50 adalah distribusi

yang sangat menceng

5) Menurut Kenney dan Keeping, nilai α₃ bervariasi antara ± 2 bagi distribusi yangmenceng.

Untuk mencari nilaiα₃, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.

a. Untuk data tunggal

Koefisien Kemencengan Momen untuk data tunggal dirumuskan :

α₃ = koefisien kemencengan momen

b. Untuk data berkelompok

Koefisien kemencengan momen untuk data berkelompok dirumuskan :

5. KERUNCINGAN ATAU KURTOSIS

Keruncingan atau kurrtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yangbiasanya diambil secararelatif terhadap suatu distribusi normal.Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut :

1) Leptokurtik

Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.

2) Platikurtik

Merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar

3) Mesokurtik

Merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar

Bila distribusi merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik ianggap sebagai distribusi normal.

Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering        digunakan

adalah koefisien kurtosis persentil.

1. Koefisien keruncingan

Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan a₄ (alpha 4).

Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh :

1) Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik

2) Nilai lebih besar dari 3, maka distibusinya adalah distribusi leptokurtik

3) Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi               mesokurtik

Untuk mencari nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data    tunggal dan

data kelompok.

a.       Untuk data tunggal

Tentukan keruncingan kurva dari data 2, 3, 6, 8, 11 !

Penyelesaian :

Karena nilainya 1,08 (lebih kecil dari 3) maka distribusinya adalah distribusi platikurtik.

b.      Untuk data kelompok

2.      Koefisien Kurtosis Persentil

Koefisien Kurtosis Persentil dilambangkan dengan K (kappa). Untuk distribusinormal, nilai K = 0,263. Koefisien Kurtosis Persentil, dirumuskan :

Contoh soal :

Berikut ini disajikan tabel distribusi frekuensi dari tinggi 100 mahasiswa

universitas XYZ.

a. Tentukan koefisien kurtosis persentil (K) !

b. Apakah distribusinya termasuk distribusi normal !

Tinggi Mahasiswa Universitas XYZ