DISTRIBUSI NORMAL

Beberapa Pengertian Umum Tentang Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi teoritis dari variable random yang kontinu. Pengalaman telah membuktikan bahwa sebagian besar dari variable random yang kontinu di berbagai bidang aplikasi yang beraneka ragam umumnya memiliki distribusi yang didekati dengan distribusi normal atau dapat menggunakan sebagai model teoritisnya. Distribusi normal yang demikian merupakan distribusi yang simetris, berbentuk genta dan kontinu serta memiliki fungsi frekuensi.

Fungsi f(x) di atas juga dinamakan fungsi kepekatan normal ( normal density function) 

Rumus diatas, distribusi normal tergantung pada 2 parameter yaitu rata-rata Ux dan varians σ kuadrat x. Dengan kata lain, distribusi normal umum merupakan sekeluarga kurva yang berparameter dua buah dan agar kita memperoleh suatu gambaran tentang distribusi normal yang khusus, kedua parameter diatas harus diberi harga yang tertentu pula.

Hasilnya, fungsi kepekatan normal seringkali dinyatakan sebagai berikut :

dengan sendirinya, suatu distribusi normal dapat dibedakan dari distribusi normal yang lain atas dasar perbedaan rata-ratanya atau variansinya atau kedua-duanya.

Jika Ux sudah tertentu tanpa menentukan σ kuadrat x, maka kita akan memperoleh serangkaian keluarga distribusi normal yang memiliki rata-rata yang sama dengan varians seperti pada diagram 1

Sebaliknya, jika σ kuadrat x sudah tertentu sedangkan Ux tidak ditentukan, kita akan peroleh serangkaian keluarga kurva normal yang memiliki bentuk yang sama dengan lokasi yang berbeda sepanjag sumbu X seperti dalam diagram 2

Karena distribusinya kontinu, cara menghitung probablitasnya dilakukan dengan jalan menetukan luas di bawah kurvanya. Sayangnya, fungsi frekuensi normal tidak memiliki integral yang sederhana sehingga probabilitas umumnya dihitung dengan menggunakan distribusi normal standar dimana variabel randomnya

Definisi dari diagram 1 bila Z merupakan variabel random yang kemungkinan harga-harganya menyatakan bilangan-bilangan riil antara - ∞ dan + ∞, maka Z dinamakan variabel normal standar bila dan hanya bila probabilitas interval dari a ke b menyatakan luas dari a ke b antara sumbu Z dan kurva normalnya dan persamaanya diberikan sebagai berikut :

Fungi yangdirumuskan dengan 10.1.3 diatas dinamakan fungsi kepekatan normal standart ( standar normal density function). Grafiknya dapat dilihat pada diagram 10.1.3

Diagram 10.1.3.fungsi kepekatan normal standar

bahwa probabilitas pada sembarang titik-titik ialah nol karena bagi variabel kontinu, probabilitas selalu dinyatakan dalam interval. Dengan kata lain, probabilitas Z yang merupakan nilai pada interval antara Z = a hingga Z = b adalah sama dengan luas yang dibatasi oleh kurva normalnya, sumbu Z dan garis vertical Z = a dan Z = b. hal demikian dapat dilihat pada diagram 10.1.4

diagram 10.1.14 Kurva normal standar

seperti yang telah penulis katakan, pencarian luas kurva normal diatas dapat dilakukan dengan bantuan tabel luas normal A(z).

contoh 10.1.1 Berapakah probabilitas variabel random normal yang standar merupakan nilai 0 dan 1 ?

Per Table luas kurva normal, maka p(0<Z<1) = 0,3413.

Contoh 10.1.2 berapakah probabilitas variabel random normal yang standar merupakan nilai antara -2 dan +2 ?

Per Tabel luas kurva normal, maka p(-2<Z<+2) = 2(0,4772) = 0,9544.

Hal tersebut berarti bahwa 95,44 persen dari seluruh luas kurva normal standar terletak antara -2 dan +2.

Contoh 10.1.3 Berapakah probabilitas variabel random normal yang standar merupakan nilai antara 0,1 dan 2,8 ?

Per Tabel luas kurva normal, maka p(0,1 < Z < 2,8 ) = p(0 < Z < 2,8 ) – p(0 < Z < 0,1 ) = 0,4974 – 0,0398 = 0,4576.

Luas kurvanya dapat dilihat pada diagram 10.1.5

Diagram 10.1.5 Kurva normal standar, p(0,10 < Z < 2,8 ).

Dan grafiknya dapat dilihat pada diagram 10.1.7

Diagram 10.1.7 Fungsi distribusi normal kumulatif yang standar

Per Tabel distribusi normal kumulatif f(1) = 0,8413 dan f(0) = 0,5000 sehingga p(0 < Z < 1 ) = f(1) – f(0) = 0,8413 – 0,5000 = 0,3413 ( referensi diagram 10.1.7 )

Contoh 10.1.5

Carilah p(0,10 < Z < 2,80 ) dalam soal contoh 10.1.3

Per Tabel distribusi normal kumulatif, f(2,8) = 0,9974 dan f(0,10) = 0,5398 sehingga p(0,10 < Z < 2,8 ) = f(2,8) – f(0,10) = 0,9974 – 0,5398 = 0,4576

10.1.3 Beberapa contoh tentang penggunaan tabel luas kurva normal dan distribusi normal kumulatif

Pada hakekatnya, kurva normal merupakan keluarga kurva normal yang dapat memiliki rata-rata Ux dan varians O kuadrat x yang berbeda dan tidak usah Ux = 0 dan O kuadrat x = 1 seperti dengan halnya kurva normal standar.

Bila demikian halnya, apakah tabel yang berbeda harus dibuat untuk pencarian luas kurva normal dengan Ux dan  O kuadrat x yang berbeda ?Hal yang sedemikian itu tidak perlu. Luas kurva normal dengan Ux  dan O kuadrat x yang berbeda tetap dapat dicari dengan jalan mengubah variabel random X yang normal kedalam variabel random Z yang standar dan dirumuskan sebagaiberikut :

Serta kemudian mencari nilai Z-nya dengan bantuan tabel F(z) atau A(z).

Pengubahan X ke Z sedemikian itu dapat dilihat dalam diagram 10.1.8 dan 10.1.9

Diagram 10.1.8 Kurva normal umum standar.

contoh : 

Bila X merupakan variabel random yang memiliki distribusi normal dengan rata-rata Ux = 24 dan deviasi standar Ox = 12, berapakah probabilitas 17,4< X < 58,8 ?

Pengubahan variabel normal 17,4 dan 58,8 masing-masing kedalam variabel standar memperoleh

= 0,7069

Jika probabilitas diatas dihitung dengan bantuan table distribusi normal kumulatif, maka diperoleh hasil

p(17,4 ) < X < 58,8 ) = p(-0,55 < Z < 2,90)

                        = F(2,90) – F(-0,55)

                         = 0,9981 – 0,2912

                        = 0,7069

Contoh 10.1.7

Dari pengiriman sebanyak 1.000 riem kertas koran berat 60 gram diketahui bahwa rata-rata tiap riemnya terisi dengan 450 lembar dengan deviasi standar sebesar 10 lembar. Jika distribusi jumlah kertas per riemtersebut dapat didekati dengan kurva normal, berapa persen dari riem kertas diatas terisi dengan 455 lembar atau lebih ?

Dalam soal diatas, Ux = 450 dan Ox = 10 sedangkan yang kita ingin ketahui ialah p(X ≥ 455). Pengubah variabel normal 455 kedalam variabel standar memperoleh

Karena f(0,50) = 0,6915, maka p(Z ≥ 0,50) = 1 – 0,6915 = 0,3085 atau 30,85 persen. Jelas bahwa 30,85 persen dari riem kertas diatas terisi dengan 455 lembar atau lebih.

Contoh 10.1.8

Angka ujian statistik sebagian besar mahasiswa memiliki Ux = 34 dan Ox  = 4. Jika distribusi angka-angka ujian tersebut kurang kurang lebih menyerupai distribusi normal, dibawah angka berapa kita akan memperoleh 10 persen terendah dari seluruh distribusi angka-angka tersebut ?

1.2 Penerapan kurva normal terhadap data empiris

Sampel yang diperoleh dari pengukuran empiris acapkali memiliki bentuk distribusi kumulatif yang dapat didekati secara memuaskan dengan distribusi normal. Hal tersebut dapat dilakukan dengan jalan mempersamakan Ux dengan X bar dengan Ox dengan s. Agar lebih jelas, kita akan memberikan sebuah contoh yang berhubungan dengan persoalan di atas.

Table 10.2.1 menyajikan distribusi frekuensi dari sebuah sampel yang terdiri dari 75 pengukuran berat barangX.

Sudah tentu, nilai F(x) dapat secara langsung dicari dari table F(x), Bila kita ingin memperoleh penerapan yang lebih merata, kita harus menghitung nilai-nilai X yang sesuai dengan nilai-nilai Z = -3, -2,90, -2,80, -2,70,… dan seterusnya.

1.3 Hubungan antara distribusi Normal dan Distribusi Binomial

Bila n besar sekali, distribusi binomial dapat disesuaiakan sedemikan rupa sehingga dapat didekati dengan distribusi normal standar. Pada makalh ini akan di bahas betapa penyesuaian tersebut dapat dilakukan sehingga menghasilkan sebuah pendekatan yang sangat tepat sekali. Seperti telah kita ketahui, variable random X atau jumlah sukses dalam n percobaan binomial merupakan penjumlahan dari variable random n dimana tiap peubah acak (variate) dimaksudkan bagi setiap percobaan binomial dan tiap percobaan menghasilkan nilai 0 atau 1.

Dalam keadaan yang biasa, jumlah dari beberapa variable random selalu mendekati distribusi normal, sehingga distribusi jmlah variable diatas dapat didekati dengan distribusi normal bila n makin menjadi besar.

Batas distribusi binomial dapat di fahami secara berangsur-angsur dengan memperhatikan tiga hal pokok sebagai berikut :

1.      Distribusi binomial merupakan sebua distribusi yang diskrit sedangkan distribusi normal merupakan sebuah distribusi yang kontinu, sehingga probabilitas yang dinyatakan dengan ordinat binomial perlu diganti dengan luas binomial karena luas selalu dipakai untuk menyatakan probabilitas dalam distribusi yang kontinu.

2.      Skala X perlu diganti dengan skala Z agar tidak terjadi proses “bergerak” dan “mendatar” bila n berangsur-angsur menjadi besar.

3.      Pendekatan secara normal terhadap probabilitas binomial dapat dilakukan dengan menghitung luas yang terdapat dibawah kurva normal.

Jumlah probabilitas atau luas yang terdapat diantara kurva dan sumbu X adalah sama dengan 1. Hal demikian da[at dilihat pada diagram dibawah ini :

Probabilitas variable random X merupakannilai antara a dan b dan dapat dinyatakan sebagai daerah bergaris dari kurva diagram 10.3.1 diatas. Pada gambar diatas, p(X = a ) = 0 karena luas a dianggap sama dengan garis f(a) yang memiliki lebar sama dengan 0. Hal tersebut berbeda sekali dengan probabilitas yang dinyatakan dengan ordinat distribusi yang diskrit sebab p(X = a) dimana a = 5 tidak usah sama dengan 0.

Penerapan fungsi kontinu terhadap distribusi binomial dapat dilakukan dengan penggunaan luas untuk menyatakan probabilitas yang biasanya dinyatakan dengan ordinat. Tiap ordinat dari distribusi binomial diganti dengan luas empat persegi panjang yang berpusat pada X dan yang memiliki lebar sama dengan satu unit serta memiliki tinggi sama dengan ordinat binomial yang asal, untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada diagram dibawah ini

Setiap perubahan pada variable random X akan mengakibatkan proses “bergerak”. Satu cara untuk membendung “gerakan” tersebut ialah dengan menciptakan sebuah variable baru, yaitu Y = X – np.

Distribusi variable baru Y memiliki np = 0 dan cara pemusatanya tidak berbeda dari distribusi normal yang standar. Selain daripada itu, distribusi variable Y tersebut memiliki Oy = akar dari npq  . Kita telah mengetahui bahwa distribusi normal yang standar memiliki Uz = 0 dan Oz = 1, sehingga variable random Y yang 

memiliki µz= np = 0 dan σy =√npq masih perlu disesuaika agar σy nya sama dengan 1.

Bila npq > 0, maka Y/ √npq akan menghasilkan variable random baru Z yang memiliki  σy = 1seperti dalam halnya distribusi normal yang standar.

1 sedangkan nilai-nilai tersebut masing-masing akan sama dengan  µx dan σz dari distribusi normal yang standa. Bila n menjadi besar, ordinat-ordinat sentra (tinggai ordinat-ordinat) dari luas grafik probabilitas Z tidak akan mendatar. Karena µz = 0, maka proses “bergerak” tidak terjadi dank arena σz= 1, maka “perluasan” pun tidak terjadi .

Pendekatan probabilitas binomial dengan luas yang terdapat dibawah kurva normal dapat dilakukan dengan bantuan Tabel normal.

Contoh 10.3.1 Diketahui distribusi binomial memiliki n = 8 dan p = 1/2, sedangkan grafiknya dinyatakan seperti dalam diagram dibawah ini

Pendekatan distribusi binomial dngan distribusi normal dapat dilakukan sebagai berikut :

np = 10 x 1/2= 5

Sesuai dengan rumus 10.3.1, kita peroleh persamaan hubungan antara X dan Z sebagai berikut :