Momen, Kemiringan,
& kurtosis
1. MOMEN
Misalkan
diberikan variable x dengan harga-harga: x1, x2, …., xn. Jika A =sebuah
bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, ……., n, maka momen ke-r sekitar A,
disingkatmr,
didefinisikan oleh hubungan:
(1) ……………………………
Untuk A = 0 didapat momen ke-r
sekitar nol atau disingkat momen ke-r:
(2) ..............................
Dari rumus (2),
maka untuk r = 1 didapat rata-rata . Jika A = kita
perolehmomen ke-r sekitar rata-rata, biasa disingkat dengan mr. Jadi didapat:
(3)
…………………………...
Untuk r = 2,
rumus (3) memberikan varians s2
Untuk membedakan
apakah momen itu untuk sampel atau untuk populasi, makadipakai simbul:mr dan mr’untuk
momen sampel dan µr dan µr’untuk momen populasi.
Jadi, mr
dan mr’adalah statistik sedangkan µr dan µr’
merupakan parameter.Jika data telah disusun dalam daftar
distribusi frekuensi, maka rumus-rumus di
atas
berturut-turut berbentuk:
(4) ………………………..
(5)
………………………..
(6)
………………………..
dengan
n = ∑fi, xi = tanda kelas interval dan fi =
frekuensi yang sesuai dengan xi.
Dengan
menggunakan cara sandi, rumus 4 menjadi:
(7)
………………………
Dengan,
p = panjang kelas interval, ci = variabel sandi
Dari
mr’, harga-harga mr untuk beberapa harga r,
dapat ditentukan berdasarkan hubungan:
m2
= m2’ – (m1’)2
m3=
m3’ – 3m1’m2’
+ 2(m1’)3
m4=
m4’ - 4 m1’m3’
+ 6(m1’)2 m2’ - 3(m1’)4
contoh
untung menghitung 4 buah momen sekitar rata-rata untk data dalam daftar
distribusi frekuensi sbb:
2. kemiringan
Kemencengan
atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan
atau
kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris
akan
memiliki
rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya sehingga
distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng.
Jika
distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri
maka
distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif.
Sebaliknya,
jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke
kanan
maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.
Berikut
ini gambar kurva dari distribusi yang menceng ke kanan (menceng
positif)
dan menceng ke kiri (menceng negatif).
Untuk mengetahui
bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan ataumenceng ke kiri, dapat
digunakan metode-metode berikut :
1. Koefisien
Kemencengan Pearson
Koefisien
Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modusdibagi simpangan
baku. Koefisien Kemencengan Pearson dirumuskan sebagai berikut:
Keterangan
:
Sk
= koefisien kemencengan pearson
Aoabila
secar empiris didapatkan hubungan antarnilai pusat sebagai:
Maka
rumus kemenccengan diatas dapat dirubah menjadi:
Jika
nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka:
1) Sk
=0 kurva memiliki bentuk
simetris
2) Sk>0
Nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah
kanan ( terletak di
sebelah kanan Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan,
kurva menceng ke kanan atau menceng positif;
3) sk<
0 Nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah
kiri (terletak di
sebelah kiri Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng
ke kiri atau menceng negatif.
Contoh soal :
Berikut ini adalah data nilai ujian
statistik dari 40 mahasiswa sebuah universitas.
Nilai
Ujian Statistika pada Semester 2, 2010
a)
Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemencengannya (gunakan kedua rumus tersebut)
!
b)
Gambarlah kurvanya !
Penyelesaian:
Oleh karena nilai sk-nya
negatif (-0,46) maka kurvanya menceng ke kiri ataumenceng negatif.
b.
Gambar kurvanya :
2.
Koefisien Kemencengan Bowley
Koefisien
kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1,Q2 dan Q3)
dari sebuah distribusi. Koefisien kemencengan Bowley dirumuskan :
Koefisien
kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien
Kemencengan.Apabila
nilai skB dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :
1)
Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kanan atau menceng
secara
positif.
2)
Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng
secara
negatif.
3)
skB positif, berarti distribusi mencengke kanan.
4)
skB negatif, nerarti distribusi menceng ke kiri.
5)
skB = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan
skB> 0,30
menggambarkan
kurva yang menceng berarti.
Contoh
soal :
Tentukan
kemencengan kurva dari distribusi frekuensi berikut :
Nilai
Ujian Matematika Dasar I dari 111 mahasiswa, 1997
Penyelesaian
:
Kelas
Q1 = kelas ke -3
Karena
skB negatif (=−0,06) maka kurva menceng ke kiri dengan kemencengan
yang berarti.
3.
Koefisien Kemencengan Persentil
Koefisien
Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P90,P50
dan P10) dari sebuah distribusi. Koefisien Kemencengan Persentil
dirumuskan :\
Keterangan :
skP=
koefisien kemecengan persentil , P = persentil
4.
Keofisien Kemencengan Momen
Koefisien
Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3
dengan
pangkat tiga simpang baku. Koefisien menencengan momen dilambangkan
dengan
α3. Koefisien kemencengan momen disebut juga kemencengan relatif.
Apabila
nilai α3dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :
1)
Untuk distribusi simetris (normal), nilai α3= 0,
2)
Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α3 = positif,
3)
Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α3= negatif,
4)
Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai α3> ±0,50
adalah distribusi
yang
sangat menceng
5)
Menurut Kenney dan Keeping, nilai α3 bervariasi antara ± 2 bagi
distribusi yangmenceng.
Untuk
mencari nilaiα3, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.
a.
Untuk data tunggal
Koefisien
Kemencengan Momen untuk data tunggal dirumuskan :
α3
= koefisien kemencengan momen
b.
Untuk data berkelompok
Koefisien
kemencengan momen untuk data berkelompok dirumuskan :
5.
KERUNCINGAN ATAU KURTOSIS
Keruncingan atau
kurrtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yangbiasanya diambil
secararelatif terhadap suatu distribusi normal.Berdasarkan keruncingannya,
kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut :
1)
Leptokurtik
Merupakan
distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.
2)
Platikurtik
Merupakan
distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar
3)
Mesokurtik
Merupakan
distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar
Bila distribusi
merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik ianggap sebagai
distribusi normal.
Untuk mengetahui
keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering digunakan
adalah koefisien
kurtosis persentil.
1. Koefisien
keruncingan
Koefisien
keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan a4 (alpha
4).
Jika hasil
perhitungan koefisien keruncingan diperoleh :
1) Nilai lebih kecil dari 3, maka
distribusinya adalah distribusi pletikurtik
2) Nilai lebih besar dari 3, maka
distibusinya adalah distribusi leptokurtik
3) Nilai yang
sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik
Untuk mencari
nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan
data kelompok.
a.
Untuk data tunggal
Tentukan keruncingan kurva dari
data 2, 3, 6, 8, 11 !
Penyelesaian :
Karena nilainya 1,08 (lebih kecil
dari 3) maka distribusinya adalah distribusi platikurtik.
b.
Untuk data
kelompok
2.
Koefisien Kurtosis
Persentil
Koefisien
Kurtosis Persentil dilambangkan dengan K (kappa). Untuk
distribusinormal, nilai K = 0,263. Koefisien Kurtosis Persentil,
dirumuskan :
Contoh soal :
Berikut ini
disajikan tabel distribusi frekuensi dari tinggi 100 mahasiswa
universitas XYZ.
a. Tentukan
koefisien kurtosis persentil (K) !
b. Apakah
distribusinya termasuk distribusi normal !
Tinggi Mahasiswa
Universitas XYZ